一、多层感知机（MLP）原理简介
多层感知机（MLP，Multilayer Perceptron）也叫人工神经网络（ANN，Artificial Neural Network），除了输入输出层，它中间可以有多个隐层，最简单的MLP只含一个隐层，即三层的结构，如下图：
从上图可以看到，多层感知机层与层之间是全连接的（全连接的意思就是：上一层的任何一个神经元与下一层的所有神经元都有连接）。多层感知机最底层是输入层，中间是隐藏层，最后是输出层。
输入层没什么好说，你输入什么就是什么，比如输入是一个n维向量，就有n个神经元。
隐藏层的神经元怎么得来？首先它与输入层是全连接的，假设输入层用向量X表示，则隐藏层的输出就是
f(W1X+b1)，W1是权重（也叫连接系数），b1是偏置，函数f 可以是常用的sigmoid函数或者tanh函数：
最后就是输出层，输出层与隐藏层是什么关系？其实隐藏层到输出层可以看成是一个多类别的逻辑回归，也即softmax回归，所以输出层的输出就是softmax(W2X1+b2)，X1表示隐藏层的输出f(W1X+b1)。
MLP整个模型就是这样子的，上面说的这个三层的MLP用公式总结起来就是，函数G是softmax
因此，MLP所有的参数就是各个层之间的连接权重以及偏置，包括W1、b1、W2、b2。对于一个具体的问题，怎么确定这些参数？求解最佳的参数是一个最优化问题，解决最优化问题，最简单的就是梯度下降法了（SGD）：首先随机初始化所有参数，然后迭代地训练，不断地计算梯度和更新参数，直到满足某个条件为止（比如误差足够小、迭代次数足够多时）。这个过程涉及到代价函数、规则化（Regularization）、学习速率（learning rate）、梯度计算等，本文不详细讨论，读者可以参考本文顶部给出的两个链接。
了解了MLP的基本模型，下面进入代码实现部分。
二、多层感知机（MLP）代码详细解读（基于python+theano）
再次说明，代码来自：Multilayer Perceptron，本文只是做一个详细解读，如有错误，请不吝指出。
这个代码实现的是一个三层的感知机，但是理解了代码之后，实现n层感知机都不是问题，所以只需理解好这个三层的MLP模型即可。概括地说，MLP的输入层X其实就是我们的训练数据，所以输入层不用实现，剩下的就是“输入层到隐含层”，“隐含层到输出层”这两部分。上面介绍原理时已经说到了，“输入层到隐含层”就是一个全连接的层，在下面的代码中我们把这一部分定义为HiddenLayer。“隐含层到输出层”就是一个分类器softmax回归（也有人叫逻辑回归），在下面的代码中我们把这一部分定义为LogisticRegression。
代码详解开始：
（1）导入必要的python模块
主要是numpy、theano，以及python自带的os、sys、time模块，这些模块的使用在下面的程序中会看到。
[python] view plaincopy
import os
import sys
import time
import numpy
import theano
import theano.tensor as T
（2）定义MLP模型（HiddenLayer+LogisticRegression）
这一部分定义MLP的基本“构件”，即上文一直在提的HiddenLayer和LogisticRegression
HiddenLayer
隐含层我们需要定义连接系数W、偏置b，输入、输出，具体的代码以及解读如下：
[python] view plaincopy
class HiddenLayer(object):
def __init__(self, rng, input, n_in, n_out, W=None, b=None,
activation=T.tanh):
"""
注释：
这是定义隐藏层的类，首先明确：隐藏层的输入即input，输出即隐藏层的神经元个数。输入层与隐藏层是全连接的。
假设输入是n_in维的向量（也可以说时n_in个神经元），隐藏层有n_out个神经元，则因为是全连接，
一共有n_in*n_out个权重，故W大小时(n_in,n_out),n_in行n_out列，每一列对应隐藏层的每一个神经元的连接权重。
b是偏置，隐藏层有n_out个神经元，故b时n_out维向量。
rng即随机数生成器，numpy.random.RandomState，用于初始化W。
input训练模型所用到的所有输入，并不是MLP的输入层，MLP的输入层的神经元个数时n_in，而这里的参数input大小是（n_example,n_in）,每一行一个样本，即每一行作为MLP的输入层。
activation:激活函数,这里定义为函数tanh
"""
self.input = input #类HiddenLayer的input即所传递进来的input
"""
注释：
代码要兼容GPU，则W、b必须使用 dtype=theano.config.floatX,并且定义为theano.shared
另外，W的初始化有个规则：如果使用tanh函数，则在-sqrt(6./(n_in+n_hidden))到sqrt(6./(n_in+n_hidden))之间均匀
抽取数值来初始化W，若时sigmoid函数，则以上再乘4倍。
"""
#如果W未初始化，则根据上述方法初始化。
#加入这个判断的原因是：有时候我们可以用训练好的参数来初始化W，见我的上一篇文章。
if W is None:
W_values = numpy.asarray(
rng.uniform(
low=-numpy.sqrt(6. / (n_in + n_out)),
high=numpy.sqrt(6. / (n_in + n_out)),
size=(n_in, n_out)
),
dtype=theano.config.floatX
)
if activation == theano.tensor.nnet.sigmoid:
W_values *= 4
W = theano.shared(value=W_values, name='W', borrow=True)
if b is None:
b_values = numpy.zeros((n_out,), dtype=theano.config.floatX)
b = theano.shared(value=b_values, name='b', borrow=True)
#用上面定义的W、b来初始化类HiddenLayer的W、b
self.W = W
self.b = b
#隐含层的输出
lin_output = T.dot(input, self.W) + self.b
self.output = (
lin_output if activation is None
else activation(lin_output)
)
#隐含层的参数
self.params = [self.W, self.b]
LogisticRegression
逻辑回归（softmax回归），代码详解如下。
（如果你想详细了解softmax回归，可以参考： DeepLearning tutorial（1）Softmax回归原理简介+代码详解）
[python] view plaincopy
"""
定义分类层，Softmax回归
在deeplearning tutorial中，直接将LogisticRegression视为Softmax，
而我们所认识的二类别的逻辑回归就是当n_out=2时的LogisticRegression
"""
#参数说明：
#input，大小就是(n_example,n_in)，其中n_example是一个batch的大小，
#因为我们训练时用的是Minibatch SGD，因此input这样定义
#n_in,即上一层(隐含层)的输出
#n_out,输出的类别数
class LogisticRegression(object):
def __init__(self, input, n_in, n_out):
#W大小是n_in行n_out列，b为n_out维向量。即：每个输出对应W的一列以及b的一个元素。
self.W = theano.shared(
value=numpy.zeros(
(n_in, n_out),
dtype=theano.config.floatX
),
name='W',
borrow=True
)
self.b = theano.shared(
value=numpy.zeros(
(n_out,),
dtype=theano.config.floatX
),
name='b',
borrow=True
)
#input是(n_example,n_in)，W是（n_in,n_out）,点乘得到(n_example,n_out)，加上偏置b，
#再作为T.nnet.softmax的输入，得到p_y_given_x
#故p_y_given_x每一行代表每一个样本被估计为各类别的概率
#PS：b是n_out维向量，与(n_example,n_out)矩阵相加，内部其实是先复制n_example个b，
#然后(n_example,n_out)矩阵的每一行都加b
self.p_y_given_x = T.nnet.softmax(T.dot(input, self.W) + self.b)
#argmax返回最大值下标，因为本例数据集是MNIST，下标刚好就是类别。axis=1表示按行操作。
self.y_pred = T.argmax(self.p_y_given_x, axis=1)
#params，LogisticRegression的参数
self.params = [self.W, self.b]
ok！这两个基本“构件”做好了，现在我们可以将它们“组装”在一起。
我们要三层的MLP，则只需要HiddenLayer+LogisticRegression，
如果要四层的MLP，则为HiddenLayer+HiddenLayer+LogisticRegression........以此类推。
下面是三层的MLP：
[python] view plaincopy
#3层的MLP
class MLP(object):
def __init__(self, rng, input, n_in, n_hidden, n_out):
self.hiddenLayer = HiddenLayer(
rng=rng,
input=input,
n_in=n_in,
n_out=n_hidden,
activation=T.tanh
)
#将隐含层hiddenLayer的输出作为分类层logRegressionLayer的输入，这样就把它们连接了
self.logRegressionLayer = LogisticRegression(
input=self.hiddenLayer.output,
n_in=n_hidden,
n_out=n_out
)
#以上已经定义好MLP的基本结构，下面是MLP模型的其他参数或者函数
#规则化项：常见的L1、L2_sqr
self.L1 = (
abs(self.hiddenLayer.W).sum()
+ abs(self.logRegressionLayer.W).sum()
)
self.L2_sqr = (
(self.hiddenLayer.W ** 2).sum()
+ (self.logRegressionLayer.W ** 2).sum()
)
#损失函数Nll（也叫代价函数）
self.negative_log_likelihood = (
self.logRegressionLayer.negative_log_likelihood
)
#误差
self.errors = self.logRegressionLayer.errors
#MLP的参数
self.params = self.hiddenLayer.params + self.logRegressionLayer.params
# end-snippet-3
MLP类里面除了隐含层和分类层，还定义了损失函数、规则化项，这是在求解优化算法时用到的。
（3）将MLP应用于MNIST（手写数字识别）
上面定义好了一个三层的MLP，接下来使用它在MNIST数据集上分类，MNIST是一个手写数字0～9的数据集。
首先定义加载数据 mnist.pkl.gz 的函数load_data()：
[python] view plaincopy
"""
加载MNIST数据集
"""
def load_data(dataset):
# dataset是数据集的路径，程序首先检测该路径下有没有MNIST数据集，没有的话就下载MNIST数据集
#这一部分就不解释了，与softmax回归算法无关。
data_dir, data_file = os.path.split(dataset)
if data_dir == "" and not os.path.isfile(dataset):
# Check if dataset is in the data directory.
new_path = os.path.join(
os.path.split(__file__)[0],
"..",
"data",
dataset
)
if os.path.isfile(new_path) or data_file == 'mnist.pkl.gz':
dataset = new_path
if (not os.path.isfile(dataset)) and data_file == 'mnist.pkl.gz':
import urllib
origin = (
'http://www.iro.umontreal.ca/~lisa/deep/data/mnist/mnist.pkl.gz'
)
print 'Downloading data from %s' % origin
urllib.urlretrieve(origin, dataset)
print '... loading data'
#以上是检测并下载数据集mnist.pkl.gz，不是本文重点。下面才是load_data的开始
#从"mnist.pkl.gz"里加载train_set, valid_set, test_set，它们都是包括label的
#主要用到python里的gzip.open()函数,以及 cPickle.load()。
#‘rb’表示以二进制可读的方式打开文件
f = gzip.open(dataset, 'rb')
train_set, valid_set, test_set = cPickle.load(f)
f.close()
#将数据设置成shared variables，主要时为了GPU加速，只有shared variables才能存到GPU memory中
#GPU里数据类型只能是float。而data_y是类别，所以最后又转换为int返回
def shared_dataset(data_xy, borrow=True):
data_x, data_y = data_xy
shared_x = theano.shared(numpy.asarray(data_x,
dtype=theano.config.floatX),
borrow=borrow)
shared_y = theano.shared(numpy.asarray(data_y,
dtype=theano.config.floatX),
borrow=borrow)
return shared_x, T.cast(shared_y, 'int32')
test_set_x, test_set_y = shared_dataset(test_set)
valid_set_x, valid_set_y = shared_dataset(valid_set)
train_set_x, train_set_y = shared_dataset(train_set)
rval = [(train_set_x, train_set_y), (valid_set_x, valid_set_y),
(test_set_x, test_set_y)]
return rval
加载了数据，可以开始训练这个模型了，以下就是主体函数test_mlp()，将MLP用在MNIST上：
[python] view plaincopy
#test_mlp是一个应用实例，用梯度下降来优化MLP，针对MNIST数据集
def test_mlp(learning_rate=0.01, L1_reg=0.00, L2_reg=0.0001, n_epochs=10,
dataset='mnist.pkl.gz', batch_size=20, n_hidden=500):
"""
注释：
learning_rate学习速率，梯度前的系数。
L1_reg、L2_reg：正则化项前的系数，权衡正则化项与Nll项的比重
代价函数=Nll+L1_reg*L1或者L2_reg*L2_sqr
n_epochs：迭代的最大次数（即训练步数），用于结束优化过程
dataset：训练数据的路径
n_hidden:隐藏层神经元个数
batch_size=20，即每训练完20个样本才计算梯度并更新参数
"""
#加载数据集，并分为训练集、验证集、测试集。
datasets = load_data(dataset)
train_set_x, train_set_y = datasets[0]
valid_set_x, valid_set_y = datasets[1]
test_set_x, test_set_y = datasets[2]
#shape[0]获得行数，一行代表一个样本，故获取的是样本数，除以batch_size可以得到有多少个batch
n_train_batches = train_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size
n_valid_batches = valid_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size
n_test_batches = test_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size
######################
# BUILD ACTUAL MODEL #
######################
print '... building the model'
#index表示batch的下标，标量
#x表示数据集
#y表示类别，一维向量
index = T.lscalar()
x = T.matrix('x')
y = T.ivector('y')
rng = numpy.random.RandomState(1234)
#生成一个MLP，命名为classifier
classifier = MLP(
rng=rng,
input=x,
n_in=28 * 28,
n_hidden=n_hidden,
n_out=10
)
#代价函数，有规则化项
#用y来初始化，而其实还有一个隐含的参数x在classifier中
cost = (
classifier.negative_log_likelihood(y)
+ L1_reg * classifier.L1
+ L2_reg * classifier.L2_sqr
)
#这里必须说明一下theano的function函数，givens是字典，其中的x、y是key，冒号后面是它们的value。
#在function被调用时，x、y将被具体地替换为它们的value，而value里的参数index就是inputs=[index]这里给出。
#下面举个例子：
#比如test_model(1)，首先根据index=1具体化x为test_set_x[1 * batch_size: (1 + 1) * batch_size]，
#具体化y为test_set_y[1 * batch_size: (1 + 1) * batch_size]。然后函数计算outputs=classifier.errors(y)，
#这里面有参数y和隐含的x，所以就将givens里面具体化的x、y传递进去。
test_model = theano.function(
inputs=[index],
outputs=classifier.errors(y),
givens={
x: test_set_x[index * batch_size:(index + 1) * batch_size],
y: test_set_y[index * batch_size:(index + 1) * batch_size]
}
)
validate_model = theano.function(
inputs=[index],
outputs=classifier.errors(y),
givens={
x: valid_set_x[index * batch_size:(index + 1) * batch_size],
y: valid_set_y[index * batch_size:(index + 1) * batch_size]
}
)
#cost函数对各个参数的偏导数值，即梯度，存于gparams
gparams = [T.grad(cost, param) for param in classifier.params]
#参数更新规则
#updates[(),(),()....],每个括号里面都是(param, param - learning_rate * gparam)，即每个参数以及它的更新公式
updates = [
(param, param - learning_rate * gparam)
for param, gparam in zip(classifier.params, gparams)
]
train_model = theano.function(
inputs=[index],
outputs=cost,
updates=updates,
givens={
x: train_set_x[index * batch_size: (index + 1) * batch_size],
y: train_set_y[index * batch_size: (index + 1) * batch_size]
}
)
###############
# 开始训练模型 #
###############
print '... training'
patience = 10000
patience_increase = 2
#提高的阈值，在验证误差减小到之前的0.995倍时，会更新best_validation_loss
improvement_threshold = 0.995
#这样设置validation_frequency可以保证每一次epoch都会在验证集上测试。
validation_frequency = min(n_train_batches, patience / 2)
best_validation_loss = numpy.inf
best_iter = 0
test_score = 0.
start_time = time.clock()
#epoch即训练步数，每个epoch都会遍历所有训练数据
epoch = 0
done_looping = False
#下面就是训练过程了，while循环控制的时步数epoch，一个epoch会遍历所有的batch，即所有的图片。
#for循环是遍历一个个batch，一次一个batch地训练。for循环体里会用train_model(minibatch_index)去训练模型，
#train_model里面的updatas会更新各个参数。
#for循环里面会累加训练过的batch数iter，当iter是validation_frequency倍数时则会在验证集上测试，
#如果验证集的损失this_validation_loss小于之前最佳的损失best_validation_loss，
#则更新best_validation_loss和best_iter，同时在testset上测试。
#如果验证集的损失this_validation_loss小于best_validation_loss*improvement_threshold时则更新patience。
#当达到最大步数n_epoch时，或者patience<iter时，结束训练
while (epoch < n_epochs) and (not done_looping):
epoch = epoch + 1
for minibatch_index in xrange(n_train_batches):#训练时一个batch一个batch进行的
minibatch_avg_cost = train_model(minibatch_index)
# 已训练过的minibatch数，即迭代次数iter
iter = (epoch - 1) * n_train_batches + minibatch_index
#训练过的minibatch数是validation_frequency倍数，则进行交叉验证
if (iter + 1) % validation_frequency == 0:
# compute zero-one loss on validation set
validation_losses = [validate_model(i) for i
in xrange(n_valid_batches)]
this_validation_loss = numpy.mean(validation_losses)
print(
'epoch %i, minibatch %i/%i, validation error %f %%' %
(
epoch,
minibatch_index + 1,
n_train_batches,
this_validation_loss * 100.
)
)
#当前验证误差比之前的都小，则更新best_validation_loss，以及对应的best_iter，并且在tsetdata上进行test
if this_validation_loss < best_validation_loss:
if (
this_validation_loss < best_validation_loss *
improvement_threshold
):
patience = max(patience, iter * patience_increase)
best_validation_loss = this_validation_loss
best_iter = iter
test_losses = [test_model(i) for i
in xrange(n_test_batches)]
test_score = numpy.mean(test_losses)
print((' epoch %i, minibatch %i/%i, test error of '
'best model %f %%') %
(epoch, minibatch_index + 1, n_train_batches,
test_score * 100.))
#patience小于等于iter，则终止训练
if patience <= iter:
done_looping = True
break
end_time = time.clock()
print(('Optimization complete. Best validation score of %f %% '
'obtained at iteration %i, with test performance %f %%') %
(best_validation_loss * 100., best_iter + 1, test_score * 100.))
print >> sys.stderr, ('The code for file ' +
os.path.split(__file__)[1] +
' ran for %.2fm' % ((end_time - start_time) / 60.))
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